Begann als Sohn einer Musikerfamilie im Alter von vier Jahren mit dem Cellospiel. Errang dank seiner außerordentlichen Begabung nach frühen Erfolgen beim Wettbewerb »Jugend musiziert« bereits mit neun Jahren den 1. Preis beim Internationalen Cellowettbewerb Liezen (Österreich).
1992, im Alter von zehn Jahren, als Jungstudent an der Hochschule für Musik Detmold aufgenommen. Anschließendes Studum am Mozarteum Salzburg, der Musikhochschule Lübeck und der Musikhochschule »Hanns Eisler« in Berlin bei Gotthard Popp, Karine Georgian, Heinrich Schiff und David Geringas
2003 Diplom und 2007 Konzertexamen mit Auszeichnung bei David Geringas. Zusätzliche musikalische Impulse u.a. von Yo-Yo Ma, Lynn Harrell, Harvey Shapiro und Daniel Barenboim.
Konzertierte auf internationalen Konzertpodien wie im Konzerthaus Berlin, wo er fünfzehnjährig sein gefeiertes Debüt mit dem Kammerorchester der Berliner Philharmoniker gab, in der Berliner und Kölner Philharmonie, im Rudolfinum Prag, in der Suntory Hall Tokyo, im Großen Saal des Tschaikowski-Konservatoriums in Moskau, im Konzerthaus Dortmund, der Tonhalle Düsseldorf und beim Musikforum Weimar. Auch bei renommierten Festivals, u. a. dem Rheingau Musik Festival, den Musikfestspielen Mecklenburg-Vorpommern, dem Schleswig-Holstein Musik-Festival, dem Heidelberger Frühling und dem Musikfestival Cervo (Italien) ist er seit vielen Jahren regelmäßig zu Gast.
2006 Debüt mit dem NDR Sinfonieorchester unter Dirigent Eiji Oue in der Hamburger Laeiszhalle
2007 und 2014 spielte er unter der Leitung von Daniel Barenboim Strauss’ Don Quixote in Berlin, Granada, Tokyo, Madrid, Paris, Wien und Barcelona. Im Herbst 2007 begann die kammermusikalische Zusammenarbeit mit Daniel Barenboim, welche seitdem zu vielen Recitalen der beiden führte.
2003 wurde Claudius Popp 21-jährig Solo-Cellist der Staatsoper Unter den Linden Berlin unter Maestro Barenboim.
Preisträger wichtiger Wettbewerbe, so u. a. beim Internationalen Tschaikowsky-Wettbewerb Moskau (2002), beim Osaka International Music Competition, beim Internationalen ARD-Wettbewerb (2001, Bärenreiter-Sonderpreis) und dem Internationalen Rundfunkwettbewerb »Concertino Praga«. 2003 wurde Claudius Popp mit dem Preis des Deutschen Musikrats ausgezeichnet.
Stipendiat der Oscar und Vera Ritter Stiftung, der Studienstiftung des Deutschen Volkes und der Werner Richard – Dr. Carl Dörken Stiftung.
Zusätzlich zu seiner solistischen, kammermusikalischen und orchestralen Arbeit, unterrichtet Claudius Popp seit 2003 im Rahmen der Orchesterakademie der Staatsoper Berlin.
Seit dem Wintersemester 2014 hält Claudius Popp einen Lehrauftrag an der Hochschule für Musik Hanns Eisler Berlin.